群的子群

在群论中，子群是指一个群内的一个子集，这个子集本身也是一个群。具体来说，如果一个非空集合 \(H\) 是群 \(G\) 的子集，并且 \(H\) 满足以下两个条件，那么 \(H\) 就是 \(G\) 的一个子群：

1. **封闭性**：对于 \(H\) 中的任意两个元素 \(a\) 和 \(b\)，它们的乘积 \(ab\) 仍然在 \(H\) 中。

2. **单位元的包含**：如果 \(G\) 有单位元 \(e\)，那么 \(e\) 必须在 \(H\) 中。

3. **逆元的包含**：对于 \(H\) 中的任意元素 \(a\)，其逆元 \(a^{-1}\) 也必须在 \(H\) 中。

简而言之，子群是原始群的一个较小的“副本”，它继承了原始群的群性质。例如，在实数集 \(R\) 上的加法群中，整数集 \(Z\) 是其一个子群。

以下是一个子群的具体例子：

设 \(G = \{1, -1, i, -i\}\)，其中 \(i\) 是虚数单位。这个集合在复数乘法下形成一个群。现在考虑子集 \(H = \{1, -1\}\)，它在复数乘法下也形成一个群，因为：

- 封闭性：\(1 \cdot 1 = 1\)，\(-1 \cdot -1 = 1\)，所以 \(H\) 是封闭的。

- 单位元：\(1\) 是 \(G\) 和 \(H\) 的单位元。

- 逆元：\(1\) 的逆元是它自己，\(-1\) 的逆元是它自己，所以 \(H\) 中每个元素的逆元都在 \(H\) 中。

因此，\(H\) 是 \(G\) 的一个子群。