群,子群

在数学的群论中，群（Group）和子群（Subgroup）是两个重要的概念。

1. **群（Group）**：

- 群是一类对象组成的集合，这些对象之间定义了一种运算（通常称为“乘法”或“运算”），满足以下四个条件（称为群公理）：

- **封闭性**：对于集合中的任意两个元素 \(a\) 和 \(b\)，其运算结果 \(a \cdot b\) 仍然属于这个集合。

- **结合律**：对于集合中的任意三个元素 \(a\)、\(b\) 和 \(c\)，都有 \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)。

- **单位元**：存在一个元素 \(e\)，使得对于集合中的任意元素 \(a\)，都有 \(a \cdot e = e \cdot a = a\)。

- **逆元**：对于集合中的任意元素 \(a\)，存在一个元素 \(b\)，使得 \(a \cdot b = b \cdot a = e\)，其中 \(e\) 是单位元。

2. **子群（Subgroup）**：

- 子群是一个群的所有元素构成的子集，并且这个子集本身也是一个群。换句话说，如果 \(G\) 是一个群，那么 \(H\) 是 \(G\) 的一个子群，当且仅当 \(H\) 满足以下条件：

- \(H\) 是 \(G\) 的非空子集。

- 对于 \(H\) 中的任意两个元素 \(a\) 和 \(b\)，\(a \cdot b\) 也在 \(H\) 中。

- 对于 \(H\) 中的任意元素 \(a\)，其逆元素 \(a^{-1}\) 也在 \(H\) 中。

- \(H\) 包含一个单位元，并且这个单位元与 \(G\) 中的单位元相同。

简单来说，子群就是一个群内部的“小群”，它继承了原来群的所有特性。